Twierdzenie o wiriale
Z Wikipedii
Twierdzenie o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale V = arn, średnie energie spełniają zależność
.
Na przykład dla oscylatora harmonicznego V = kr2, a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale 
. Dla planety w polu grawitacyjnym V = − k / r, wobec tego 
.
Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.
[edytuj] Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej
Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności. Będziemy korzystać z podstawowych własności komutatorów (przedstawione w osobnym artykule) oraz twierdzenia Ehrenfesta:
![\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/a/94a7597fdee8c1e84ce13b82f00a532a.png)
Podstawimy A = xp gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.
Żeby obliczyć komutator [xp,H] obliczymy najpierw [xp,T] gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.
![[xp, T] = [x, T]p + x[p, T] = [x, T]p = \frac{1}{2m}[x, p^2]p = \frac{1}{2m} ( [x, p]p + p[x, p]) p = \frac{2 i \hbar}{2m} p^2 = 2i\hbar T](http://upload.wikimedia.org/math/0/3/9/039ba897e7c04bee9478643b6942d8b8.png)
Następnie obliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.
![[xp, V(x)] = [x, V(x)]p + x[p, V(x)] = x[p, V(x)] = -i \hbar x \left[\frac{d}{dx}, V(x)\right] = -i \hbar x \left(\frac{dV(x)}{dx} + V(x)\frac{d}{dx} - V(x)\frac{d}{dx}\right) = -i \hbar x \frac{dV(x)}{dx}](http://upload.wikimedia.org/math/d/a/c/dac19cbea226a7d266688d51b2dbfb9c.png)
W związku z tym: ![[xp, H] = [xp, T] + [xp, V(x)] = i\hbar \left(2T -x \frac{dV(x)}{dx} \right)](http://upload.wikimedia.org/math/8/c/a/8caa0512f7d0de6f1b1dc912cf1187f2.png)
Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:
Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:
gdzie ψ jest stanem własnym hamiltonianu, a E energią w tym stanie.
Wówczas równanie przyjmuje postać:
Przyjmując V(x) = axn dostajemy twierdzenie wirialne.
[edytuj] Linki zewnętrzne
| USA: Pesymistycznie o niepodległości Gruzji |
|
Na podstawie swych obserwacji w czasie wizyty w Gruzji publicysta "Washington Post" Jackson Diehl wyraża wątpliwości, czy przyszła administracja Baracka Obamy zdecyduje się na choćby polityczną konfrontację z Rosją w obronie niepodległości tego zakaukaskiego kraju.
|
| Najstarsze znalezisko z marihuaną |
|
Najstarsze znalezisko z marihuaną dowodzi, że 2700 lat temu stosowano ją w celach terapeutycznych lub wróżebnych na północno-zachodnich krańcach Chin. Pomaga też zrozumieć kluczową rolę Turfanu na szlaku wymiany między Wschodem a Zachodem.
|
| Tusk: Skłamałbym, gdybym mówił, że nie spodziewałem się wet |
|
Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej".
|
| Eksplozja na lotnisku w Bangkoku |
|
Jedna osoba zginęła i ponad 20 zostało rannych w wybuchu bomby na lotnisku krajowym w Bangkoku we wtorek rano czasu lokalnego - poinformował dziennik "The Nation" w wydaniu internetowym, powołując się na informacje ze szpitali.
|
| Iran zaprojektował samolot niewidoczny dla radaru |
|
Dowódca sił powietrznych Iranu obwieścił, że irańscy eksperci zaprojektowali wojskowy samolot, którego nie wykrywa radar. Następnym etapem ma być zbudowanie małego prototypu.
|