Równanie falowe

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

$\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_{+} \\ u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{cases}$

gdzie $\mathbb{R}_{+}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja $u (x, t)$ jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie $x$ w chwili $t$ . Zadane są początkowe położenie fali $f$ oraz początkowy impuls $g$ . Fizycznie stała $c$ oznacza prędkość światła. Matematycznie zwykłe przyjmuje się $c = 1$ .

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta:

$\square u (x, t) = 0$

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki $n = 1,2,3$ .

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie'a:

$e^{i(Et-\omega{}p)/\hbar{}}$

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Spis treści

1 Rozwiązania równania falowego
2 Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3
3 Zasada Huygensa
4 Referencje

[edytuj] Rozwiązania równania falowego

[edytuj] Równanie struny i wzór d'Alemberta

Jednowymiarowe ( $n = 1$ ) równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

$\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R} \\ u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{cases}$

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

u (x, t) = α(x - c t) + β(x + c t),

gdzie $α,β$ są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności $f\in C^2(\mathbb{R}), g\in C^1(\mathbb{R})$ oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

$u(x, t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz}$

Jest to 'wzór d'Alemberta'. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

[edytuj] Równanie struny półnieskończonej

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

u (0, t) = 0

dla dowolnego $t\in\mathbb{R}$

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

$\begin{cases} u(x, t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz},& x \ge{}ct \\ u(x, t) = \frac{f(x+ct)-f(ct-x)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{ct-x}^{ct+x}{g(z)dz},& x < ct \end{cases}$

[edytuj] Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa

Równanie falowe dla $n = 3$ ma postać

$\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R} \\ u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \end{cases}$

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności $f\in{}C^3(\mathbb{R}^3), g\in{}C^2(\mathbb{R}^3)$ rozwiązaniem jest:

$4\pi{}c^2{}\cdot{}u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\big(\frac{1}{t}\int\limits_{S^2(x,ct)}{f(z)d\sigma(z)}\big) + \frac{1}{t} \int\limits_{S^2(x,ct)}{g(z)d\sigma(z)}$

Jest to wzór Kirchhoffa.

[edytuj] Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona

Równanie falowe dla $n = 2$ można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności $f\in{}C^3(\mathbb{R}^3), g\in{}C^2(\mathbb{R}^3)$ rozwiązaniem jest:

$2\pi{}c \cdot u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\big(\int\limits_{D(x,ct)}{\frac{f(z)d\sigma(z)}{\sqrt{c^2{}t^2 - |z-x|^2}}}\big) + \int\limits_{D(x,ct)}{\frac{g(z)d\sigma(z)}{\sqrt{c^2 t^2 - |z-x|^2}}}$

[edytuj] Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

$\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= h(x,t), & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_{+} \\ u(x,0) = 0, & \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = 0, & \end{cases}$

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

$4\pi{}c^2 u(x,t) = \int\limits_{0}^{ct}{dr \int\limits_{S^2(x,r)}{h(z, t-\frac{r}{c})} d\sigma(z)}$

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku $| z - x | = c t$ .

[edytuj] Zasada Huygensa

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie $n = 3$ oraz $n = 2$ .

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki $K\subseteq\mathbb{R}^n$ .

Niech $n = 3$ . Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że $u(x,t)\ne{}0$ tylko w pewnym skończonym czasie $t\in{}[t_1, t_2]$ . Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla $n = 2$ . Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak $\frac{1}{t}$ .

[edytuj] Referencje

Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa

Kraków: Obława na włamywaczy

Policja zatrzymała jednego z mężczyzn który - wraz ze wspólnikami - po dokonaniu włamania, w trakcie ucieczki potrącił samochodem policjanta.

Kraków: Obława na włamywaczy, jeden zatrzymany

Policja zatrzymała jednego z mężczyzn który - wraz ze wspólnikami - po dokonaniu włamania, w trakcie ucieczki potrącił samochodem policjanta.

PiS uda się odwołać marszałka Komorowskiego?

Tolerowanie brutalizacji życia publicznego, nieprzestrzeganie praw opozycji i zwyczajów parlamentarnych, związki z b. WSI - to zarzuty PiS pod adresem Bronisława Komorowskiego (PO). Według szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego, polityk PO nie nadaje się na marszałka Sejmu. Komorowskiego bronił Stefan Niesiołowski.

Umoralniające kazanie zamiast mandatu

Prawosławni duchowni w obwodzie penzeńskim (w środkowej części Powołża) uczestniczą w patrolach milicji drogowej, by wspomóc funkcjonariuszy w skłanianiu kierowców do przestrzegania przepisów drogowych - informuje dziennik "Nowyje Izwiestija".

Jest zażalenie na decyzję prokuratury ws. Palikota

Szef Kancelarii Prezydenta Piotr Kownacki powiedział, że zostało już złożone zażalenie na umorzenie przez prokuraturę śledztwa dotyczącego wypowiedzi posła PO Janusza Palikota, który powiedział, że uważa prezydenta Lecha Kaczyńskiego "za chama".

schody | Kolędy polskie | Model 01 | reklama na samochodach | Filmy przygodowe HOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,

Wikipedia - Wolna Encyklopedia