Równanie różniczkowe

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Równanie różniczkowe jest to równanie, które wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y$ , której pochodne spełniają to równanie. Na przykład równanie różniczkowe $y'' + y = 0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y = A cos x + B sin x$ , gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

równania różniczkowe zwyczajne — w których szukamy funkcji jednej zmiennej
równania różniczkowe cząstkowe — w których szukamy funkcji wielu zmiennych

Żeby rozwiązać równanie różniczkowe należy sprowadzić je do jednej ze standardowych form, a następnie użyć odpowiadającego tej formie przekształcenia.

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x)$

W najprostszym przypadku $y^\prime$ występuje tylko raz, a $y$ i inne pochodne nie występują wcale. Rozwiązać taki problem możemy całkując obie strony równania:

$\int y^\prime(x) \mathrm{d}x = \int p(x) \mathrm{d}x$

$y(x) = \int p(x) \mathrm{d}x$

Nie należy przy tym zapominać o czynniku stałym z prawej strony.

Przykład:

$y^\prime(x) = x^2 + x$

$y(x) = \int (x^2 + x) \mathrm{d}x$

$y(x) = \frac 1 3 x^3 + \frac 1 2 x^2 + c$

Przykład 2:

$y^\prime(x) + x y^\prime (x) = x^2$

$(1+x) y^\prime(x) = x^2$

$y^\prime(x) = \frac {x^2} {1+x}$ — musimy najpierw sprowadzić do standardowej postaci

$y(x) = \int \frac {x^2} {1+x} \mathrm{d}x$ — i scałkować prawą stronę

$y(x) = \int [(x - 1) + \frac 1 {1+x}] \mathrm{d}x$

$y(x) = \frac {x^2} 2 - x + \ln |1+x| + c$

Równania o zmiennych rozdzielonych

Powyższą metodę można uogólnić na szerszą klasę równań:

$q(y(x))y^\prime(x) = p(x)$

W ich przypadku całkuje się obie strony:

$\int q(y(x)) \mathrm{d}y(x) = \int p(x) \mathrm{d}x$

Po lewej uzyska się jakieś wyrażenie zawierające $y (x)$ , po prawej zaś wyrażenie zawierające tylko samo $x$ . Odpowiednio przekształcając to (już nie różniczkowe) równanie można uzyskać zamkniętą postać $y (x)$ .

Przykład:

$y(x)y^\prime(x) = e^x$

$\int y(x) \mathrm{d}y(x) = \int e^x \mathrm{d}x$

$\frac 1 2 y^2(x) = e^x + c$

$y(x) = \pm \sqrt {2 e^x + 2 c}$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x)$

Czyli tzw. liniowe równania różniczkowe jednorodne.

Rozwiązaniem takiego równania jest (w tym $c = 0$ ):

$y(x) = c \exp \int p(x) \mathrm{d}x$

Żeby to udowodnić podstawmy $y (x)$ do równania różniczkowego:

$\left(c \exp \int p(x) \mathrm{d}x\right)^\prime = p(x) c \exp \int p(x) \mathrm{d}x$

$\left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right)^\prime = p(x) \exp \int p(x) \mathrm{d}x$ — możemy z obu stron pozbyć się stałej

c

$\left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right) \left(\int p(x) \mathrm{d}x\right)^\prime = p(x) \exp \int p(x) \mathrm{d}x$ — ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

$\left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right) p(x) = \left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right) p(x)$ — a pochodna całki po funkcji jest równa danej funkcji

Przykład:

$y^\prime(x) = x^2y$

$y(x) = c \exp \int x^2 \mathrm{d}x$

$y(x) = c \exp \frac 1 3 x^3$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x) + q(x)$

Czyli tzw. liniowe równania różniczkowe niejednorodne.

Rozwiązaniem takich równań jest:

$y(x) = \left(c + \int q(x) \exp \left (- \int p(x) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}x \right) \exp \int p(x) \mathrm{d}x$

Co możemy przedstawić prościej jako:

$P(x) = \int p(x) \mathrm{d}x$

$y(x) = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)}$

Przykład:

$y^\prime(x) = \frac y x + \sin x$

$P(x) = \int \frac 1 x \mathrm{d}x$

P (x) = ln x + c

$y(x) = \left(c + \int \sin (x) e^{-\ln x} \mathrm{d}x \right) e^{\ln x}$

$y(x) = \left(c + \int \sin (x) e^{\ln \frac 1 x} \mathrm{d}x \right) x$

$y(x) = \left(c + \int \sin (x) \frac 1 x \mathrm{d}x \right) x$

$y(x) = \left(c + \int \frac {\sin x} x \mathrm{d}x \right) x$ — gdzie $\int \frac {\sin x} x \mathrm{d}x$ nie da się przedstawić w prostszej postaci.

Dowód: Podstawmy rozwiązanie do równania różniczkowego:

$\left(\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)}\right)^\prime = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

$\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) (e^{P(x)})^\prime + \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right)^\prime e^{P(x)} = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

$\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} P^\prime(x) + q(x) e^{-P(x)} e^{P(x)} = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

$\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x) = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

Co też należało pokazać.

Równania Bernoulliego

Równania Bernoulliego to równania postaci:

$y^\prime(x) = p(x)y(x) + q(x)(y(x))^\alpha$ , dla dowolnej liczby rzeczywistej

α

(oprócz trywialnych przypadków 0 i 1, które redukują się bez podstawiania do równań liniowych)

Rozwiązujemy je sprowadzając je do równań liniowych przez podstawienie:

v (x) = (y (x)) 1 - α

Wtedy możemy rozwiązać równanie liniowe z $v (x)$ :

$v^\prime(x) = (1-\alpha)p(x)v(x) + (1-\alpha)q(x)$

A następnie wyprowadzamy $y (x)$ z $v (x)$ .

Podstawienie to jest poprawne, ponieważ:

$((y(x))^{1-\alpha})^\prime = (1-\alpha)p(x)(y(x))^{1-\alpha} + (1-\alpha)q(x)$

$(1-\alpha)(y(x))^{-\alpha} y^\prime(x) = (1-\alpha)p(x)(y(x))^{1-\alpha} + (1-\alpha)q(x)$

$(y(x))^{-\alpha} y^\prime(x) = p(x)(y(x))^{1-\alpha} + q(x)$

$y^\prime(x) = p(x)y(x) + q(x)(y(x))^\alpha$

Przykład:

$y^\prime(x) = y(x) \sin x + (y(x))^3 \cos x$

v (x) = (y (x)) - 2

$v^\prime(x) = -2 v(x) \sin x - 2 \cos x$ — co już potrafimy rozwiązać

Równania postaci $y^\prime(x) = p\left(\frac {y(x)} x\right) + q(x)$

Równania takie rozwiązuje się podstawiając $v(x) = \frac {y(x)} x$ .

y (x) = x v (x)

$\frac {\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = v(x) + x \frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}$

Czyli po podstawieniu otrzymujemy:

$x v^\prime(x) + v(x) = p(v(x)) + q(x)$

$x v^\prime(x) = p(v(x)) - v(x) + q(x)$

Co powinno być znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Przykład:

$y^\prime(x) = \operatorname{tg} \left( \frac {y(x)} x \right) + \frac {y(x)} x$

$x v^\prime(x) + v(x) = \operatorname{tg} \left( v(x) \right) + v(x)$

$x v^\prime(x) = \operatorname{tg} \left( v(x) \right)$

$\frac {v^\prime(x)} {\operatorname{tg} \left( v(x) \right)} = \frac 1 x$

$\int \frac 1 {\operatorname{tg} \left( v(x) \right)} \mathrm{d}v(x) = \int \frac 1 x \mathrm{d}x$

$\ln \left ( \sin v(x) \right ) = \ln x + c$

$\sin \left( v(x) \right ) = e^{\ln x + c}$

$\sin \left( v(x) \right ) = x e^c$

$v(x) = \arcsin \left ( x e^c \right )$ – możemy uprościć postać czynnika stałego

$v(x) = \arcsin \left ( c_1x \right )$

$y(x) = x \arcsin \left ( c_1x \right )$

Czynnik stały

Często w trakcie rozwiązywania równania pojawia się czynnik stały, a potem wyrażenia z tym czynnikiem coraz bardziej się komplikują. Możemy chcieć je uprościć, wprowadzając na miejsce czynnika stałego jakiś inny, np.:

$x + \frac 12 5 c = x + c_1$

$\frac x {2c} = c_1 x$

Wolno nam też robić rzeczy, których w innych sytuacjach nie powinniśmy, np.:

e x + c = e c e x = c 1 e x

Na pierwszy rzut oka nie wygląda to na poprawne przekształcenie – co jeśli ktoś przyjmie za $c 1$ liczbę ujemną ? Równania różniczkowe jednak, nawet jeśli interesują nas tylko wyniki rzeczywiste, robimy tak naprawdę na liczbach zespolonych – dla rzeczywistych $c$ , $e c$ generuje nam wszystkie liczby dodatnie, $e c + i π$ zaś wygeneruje nam zaś wszystkie liczby ujemne (a inne $e c + i x$ dadzą nam wyniki zespolone, których być może nie chcemy).

[edytuj] Zobacz też

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Równania różniczkowe

Zobacz publikację na Wikibooks:
Układy równań różniczkowych

Kraków: Obława na włamywaczy

Policja zatrzymała jednego z mężczyzn który - wraz ze wspólnikami - po dokonaniu włamania, w trakcie ucieczki potrącił samochodem policjanta.

Kraków: Obława na włamywaczy, jeden zatrzymany

Policja zatrzymała jednego z mężczyzn który - wraz ze wspólnikami - po dokonaniu włamania, w trakcie ucieczki potrącił samochodem policjanta.

PiS uda się odwołać marszałka Komorowskiego?

Tolerowanie brutalizacji życia publicznego, nieprzestrzeganie praw opozycji i zwyczajów parlamentarnych, związki z b. WSI - to zarzuty PiS pod adresem Bronisława Komorowskiego (PO). Według szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego, polityk PO nie nadaje się na marszałka Sejmu. Komorowskiego bronił Stefan Niesiołowski.

Umoralniające kazanie zamiast mandatu

Prawosławni duchowni w obwodzie penzeńskim (w środkowej części Powołża) uczestniczą w patrolach milicji drogowej, by wspomóc funkcjonariuszy w skłanianiu kierowców do przestrzegania przepisów drogowych - informuje dziennik "Nowyje Izwiestija".

Jest zażalenie na decyzję prokuratury ws. Palikota

Szef Kancelarii Prezydenta Piotr Kownacki powiedział, że zostało już złożone zażalenie na umorzenie przez prokuraturę śledztwa dotyczącego wypowiedzi posła PO Janusza Palikota, który powiedział, że uważa prezydenta Lecha Kaczyńskiego "za chama".

Czekając na... | Kamień | Naga | 2000 takich Świąt | Premiera HOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,

Wikipedia - Wolna Encyklopedia

Równanie różniczkowe

Z Wikipedii

Spis treści

Równania postaci

Równania o zmiennych rozdzielonych

Równania postaci

Równania postaci

Równania Bernoulliego

Równania postaci

Czynnik stały

[edytuj] Zobacz też

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x)$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x)$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x) + q(x)$

Równania postaci $y^\prime(x) = p\left(\frac {y(x)} x\right) + q(x)$