Operator Laplace'a - Wiki

Operator Laplace'a

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Operator Laplace'a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre'a Simona de Laplace'a.

Znajduje on wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawiając się na przykład w równaniu przewodnictwa cieplnego, propagacji fal, równaniu Helmholtza. W mechanice kwantowej występuje jako część hamiltonianu oraz jako przestrzenna składowa operatora d'Alemberta. W probabilistyce laplasjan jest generatorem ruchu Browna. Operator ten można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji w tej kolejności.

\triangle f = \operatorname{div}\ \overline{\operatorname{grad}}\ f

W układzie kartezjańskim operator Laplace'a ma postać:

\triangle = \nabla^2 = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

Operator Laplace'a w dowolnym n-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych:

\triangle = \frac{1}{h_{1}...h_{n}} \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{h_{1}...h_{n}}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\right)

Gdzie:

qi - i-ta współrzędna

hi - współczynniki Lamego, hi = ( gii )1/2

gii to diagonalne wyrazy tensora metrycznego.

Operator Laplace'a na funkcję skalarną działa dokładnie tak jak można się spodziewać, tzn. daje sumę pochodnych cząstkowych argumentu. Dla funkcji wektorowej \bar{F} natomiast działanie jest następujące:

\triangle \bar{F} = \sum _{k=1} ^{n}(\triangle F_{k} ) \hat{e}_{k}

Czyli też jest funkcją wektorową.

Laplasjan w sferycznym układzie współrzędnych:

\triangle=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} +\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r +\frac{1}{r^2}\left(\operatorname{ctg}\theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right)

[edytuj] Zobacz też

p • d • e
Operatory różniczkowe

dywergencja • gradient • nabla • dalambercjan • laplasjan • rotacja

 

Zablokowany wjazd na obwodnicę Torunia
Zablokowana jest droga krajowa nr 10 przy wjeździe na obwodnicę Torunia w Lubiczu, gdzie w czwartek rano zderzyły się cztery samochody. Jedna osoba została ranna.
TIR wpadł w poślizg - zginęła jedna osoba
Do wypadku dwóch TIR-ów doszło w środę wieczorem na drodze krajowej nr 2 siedem kilometrów od Świecka (Lubuskie). Na miejscu zginął pasażer jednego z pojazdów - poinformował oficer dyżurny lubuskiej policji.
Odciążą Augustów kosztem innej miejscowości?
Generalna Dyrekcja Dróg Krajowych i Autostrad w Białymstoku chciałaby odciążyć Augustów i skierować część ruchu tirów na drogę biegnącą przez miejscowość Raczki, czytamy w "Naszym Dzienniku".
USA: Powodzie na północnym zachodzie
Groźne powodzie wystąpiły w środę w położonym na północnym zachodzie USA stanie Waszyngton. W rezultacie szybkiego przyboru wód w rzekach zalane zostały znaczne obszary. Władze wezwały tysiące osób do opuszczenia ich domów.
Libańskie rakiety uderzyły w północny Izrael
Seria rakiet, wystrzelonych dzisiaj rano z terytorium Libanu, uderzyła w północną część Izraela - podaje AFP.
suknie wieczorowe | księgarnia | buty head | ginekolog | TuningHOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,