Delta Diraca - Wiki

Delta Diraca

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x0 = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.

Delta Diraca – dystrybucja, czyli operator liniowy działający na pewnej przestrzeni funkcyjnej zdefiniowany jako:

\delta(f)=\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyczny Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a F(s) = 1 i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

Spis treści

[edytuj] Reprezentacje

[edytuj] Funkcja impulsowa

Funkcja schodkowa Heaviside'a. Zastosowano "konwencję połowy maksimum", z x0 = 0

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) δ to, mówiąc intuicyjnie, obiekt matematyczny o następujących własnościach: δ(x) = 0, gdy x różne od zera albo plus nieskończoność, gdy x równe zero i dodatkowo wartość całki wynosi:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\delta (x)dx} = 1.

Mimo sugestywnej i użytecznej notacji δ(x) należy podkreślić, że nie jest to funkcja o dziedzinie w liczbach rzeczywistych. Matematycznie określamy deltę Diraca jako miarę albo jako dystrybucję, czyli funkcjonał liniowy określony na odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej.

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

[edytuj] Granica funkcji

Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji \mathbb R^2 \ni (t,h)\mapsto f(t,h)\in \mathbb R:

\delta (t)=\lim_{h\to 0}f(t,h)

gdzie f(t,h) może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

  • f(t,h)=\begin{cases} \frac{1}{h} & \mbox{dla }-h/2<t<h/2 \\ 0 & \mbox{dla } t\le -h/2 \mbox{ lub } t\ge h/2 \end{cases}
  • f(t,h)= \frac{1}{h\sqrt \pi}e^{ -t^2/h^2},
  • f(t,h)= \frac{h/\pi}{t^2+h^2} .

[edytuj] Własności

Wprost z definicji delty Diraca, wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze to:

  • \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x - a ) \, dx = f(a) ,
  • \int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) \, \delta(x-b) \, dx = \delta(a-b),
  • δ( − x) = δ(x),
  • \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x) ,
  • \delta(x^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2|a|} \left[ \delta(x-a) + \delta(x+a) \right] .

[edytuj] Zobacz też


Havel: Sarkozy jak Daladier, który uległ Hitlerowi
Były prezydent Czech Vaclav Havel powiedział dziennikowi "Corriere della Sera" w sobotę, że odnosi wrażenie, iż przywódca Francji Nicolas Sarkozy "szybciej mówi niż myśli".
Była gwiazda porno pracuje w szkolnej stołówce
Mieszkańcy położonego w New Jersey miasteczka Vineland mają nie lada zgryz. W stołówce jednej z podstawówek pracuje dawna gwiazda porno, która w najbardziej - hm - aktywnym okresie swojej kariery znana była jako Crystal Gunns.
Łódź: 9 osób rannych w wypadku
W wypadku, do którego doszło w sobotę po południu na ul. Brzezińskiej w Łodzi , zostało rannych dziewięć osób, w tym troje dzieci.
"Bush to szaleniec. Będzie mi go brakowało"
"Patentowanym szaleńcem, który doszedł do władzy" nazwał Oliver Stone prezydenta George'a W. Busha podczas konferencji prasowej w sobotę w Turynie.
Ujęto złodzieja, który ukradł kilkaset aut
Stołeczni policjanci zatrzymali mężczyznę z okolic Mińska Mazowieckiego, ściganego za kradzież samochodów. 30-letni Ireneusz P., pseud. Żaba, przyznał się, że w ciągu ostatnich kilku lat skradł kilkaset samochodów.
tanie linie lotnicze | szkolenia | pokoje do wynajęcia zachodniopomorskie | Pozycjonowanie stron | mlkvfsdivowHOME, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , ,, , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , ,